「SAVAGE_사. 배. 지_사례로 배우는 지식」
안녕하세요. 시구입니다.
오늘은 흔히 수학 7대 난제로 더 잘 알려진 밀레니엄 문제에 대해 알아보도록 하겠습니다.
[밀레니엄 문제: 수학 7대 난제]
개요
밀레니엄 문제(Millennium Prize Problems)는 한국어로 직역하면 천년 문제라는 뜻입니다. 2000년 5월 23일, 하버드 대학교 수학자들이 만든 클레이 수학연구소에서 선정한 '21세기 수학계에 기여할 수 있는 7가지 문제'를 의미합니다.
각각의 문제를 풀어내는 데 성공하면 현상금 100만 달러를 받을 수 있는데요. 이는 2024년 기준으로 13억 원에 해당하는 금액입니다. 문제를 푸는 데는 기간제한이 없으며, 문제를 풀고 국제 학술지에 게재한 후, 2년 동안 검증과정을 거쳐 오류가 없다고 판단되면 현상금을 지급합니다.
사실 돈을 떠나서 이 문제들을 풀게 되면, 수학과 과학 분야의 발전에 엄청난 공헌을 한 사람으로 역사에 길이 기억될 텐데요. 일단 '수학계의 노벨상'이라 불리는 필즈상을 사실상 예약해 놓은 셈이며, 위인전이 나올 가능성도 있을 정도입니다. 물리학과 컴퓨터과학에 걸쳐있는 문제들도 있기에, 노벨물리학상과 튜링상도 수상 가능성이 있습니다.
* 필즈상(Fields Medal): 국제 수학 연맹(IMU)이 4년마다 개최하는 세계 수학자 대회(ICM)에서 수상 당시 40세 미만의 수학자들에게 수여하는 상. 필즈상 수상은 수학자들에게 가장 큰 영예로 여겨짐.
** 튜링상: 계산기협회(ACM)에서 컴퓨터과학 분야에 업적을 남긴 사람에게 매년 시상하는 상. 컴퓨터과학의 노벨상으로 불림.
2023년 기준, 7개의 문제들 중 푸앵카레 추측만이 완전히 증명되었습니다. 푸앵카레 추측은 러시아 수학자 그리고리 페렐만은 증명하였는데요. 그는 해당 문제를 풀어서 수여된 필즈상과 상금 모두 거부하고 은둔한 상태라고 합니다.
* 다만 필즈상 수상자 목록에는 확실히 등재되어 있음.
이제 각각의 밀레니엄 문제에 대해 하나씩 살펴보겠습니다.
I. 리만 가설(Riemann Hypothesis)
한 줄 요약: 리만 제타 함수의 모든 자명하지 않은 근의 실수부가 1/2 임을 입증하라.
1859년, 독일의 수학자 베른하르트 리만은 10쪽짜리 짧은 논문을 발표합니다. 이 논문이 담고 있는 것이 바로 소수와 관련된 리만 가설입니다. 가우스의 제자이기도 했던 리만은 자신의 가설을 혼자 연구했는데, 연구와 관련된 자료를 남기지 않고, 죽을 때 모든 서류를 불태워버렸다고 합니다.
리만 가설은 힐베르트의 8번째 문제였지만, 약 150년 동안 풀리지 않아 다시 밀레니엄 문제에 포함됐는데요. 이후로 소개할 모든 밀레니엄 문제들이 그러하지만, 리만 가설은 신의 영역에 도전한다는 말이 있을 정도로 난공불락의 명성을 가지고 있으며, 무언가 규칙이 있어 보이는데 정리는 전혀 되질 않아, 수많은 학자들이 증명에 도전하고 있는 상황입니다.
* 힐베르트 문제: 20세기에 활동했던 독일의 수학자 다비트 힐베르트가 1900년에 개최된 세계 수학자 대회에서 제안한 23가지 문제.
최근에는 소수를 다루는 리만 가설이 자연을 이루는 미지의 법칙들과 연결되어 있다는 점들이 밝혀지는 중입니다. 리만 가설과 양자역학이 서로 완벽히 일치하는 부분이 있다는 사실도 드러났는데요. 즉, 소수의 비밀이 곧 우주를 이루는 근간과 관련이 있는 것이 아닌가 하는 추측이 가능해져 현재는 물리학자들도 연구에 참여하고 있다고 합니다.
천재 수학자인 존 내쉬가 이것을 연구한 이후에 정신분열증이 생겼기 때문에, 한동안 수학계에서 이것에 대해 연구하는 것을 꺼리는 분위기가 생겼었다는 루머가 있었으나, 이는 유언비어에 불과합니다. 영화 뷰티풀 마인드에 그런 식으로 묘사가 되어 있으나, 전혀 사실이 아니죠.
* 존 내쉬: 미국의 수학자이자 경제학자. 게임 이론의 초안을 낸 인물로, 1994년 노벨경제학상을 받았음. 경제학에서 접할 수 있는 내쉬 균형의 내쉬가 바로 존 내쉬.
II. 호지 추측(Hodge Conjecture)
한 줄 요약: 어떤 대상체도 모두 기하학 조각의 조합이라는 사실을 증명하라.
1930년대에 스코틀랜드의 기하학자 윌리엄 밸런스 더글러스 호지가 호지 이론을 개발합니다. 그리고 1941년, 이 이론을 집대성한 그의 저서 「조화 적분의 이론과 응용」에서 이 추측을 처음으로 발표하는데요. 이후 1950년, 호지 추측은 세계 수학자 대회 강의에서 호지에 의해 언급되면서, 수학계의 주요 미해결 문제로 부상합니다.
호지 추측의 경우, 대부분의 사전적 정의만 살펴봐도 일단 문제부터 이해가 어려운데요. 이 문제는 나름대로 간단하게 쓴다고 해도 문제 자체를 이해하려면, 대학교도 아니고, 대학원에서 대수기하학이라는 과목을 수강한 뒤, 석사과정 정도는 거쳐야 한다고 합니다.
그럼에도 약간만 덧붙이자면, 호지 추측은 호지 코호몰로지, 특이 코호몰로지와 대수기하학적 코호몰로지 사이의 관계에 대한 추측이라고 하며, 현재는 부분적인 경우만 증명이 된 상태입니다.
* 코호몰로지: 공사슬 복합체의 원소들의 몫군, 사슬 복합체에 대하여 정의되는 호몰로지에 대응되는 개념.
III. 양-밀스 이론과 질량 간극 가설(Yang-Mills and Mass Gap)
한 줄 요약: 양자물리학에서 나온 '원자 양-밀스 이론'과 '질량 간극가설'을 수학적으로 입증하라.
요약에도 나와있듯, 이 문제를 해결하기 위해서는 양-밀스 이론을 먼저 증명해야 하는데요. 이름이 특이한 이 이론은 두 물리학자의 이름을 합쳐 만들어진 이론입니다. 바로 양전닝과 로버트 밀스의 이름에서 말이죠. 특히, 양전닝은 중국의 물리학자로 중화권 최초로 노벨상을 받은 인물입니다.
양-밀스 이론은 1954년에 양전닝과 로버트 밀스에 의해 도입된 양자장론 모델 중 하나입니다. 이 이론에서 예측하는 가장 가벼운 입자가 존재할 때, 그 입자의 질량을 질량 간극이라 하는데요. 이 질량 간극이 0보다 큼을 증명하는 것을 본 밀레니엄 문제의 핵심 요구 사항이라고 합니다.
* 양자장론: 양자 역학에 상대성 이론이 적용되면, 상대론적 양자역학이라고 하는데, 그것을 아우르는 이론.
2013년에는 한국의 조용민 교수가 이 문제를 풀었다는 기사가 나옵니다. 그러나 수학계에서는 이를 전혀 인정하지 않고 있으며, 조용민 교수의 연구가 도움은 될 수는 있겠지만, 엄밀하게는 문제의 해결이란 영역에는 아직 단 한 발짝도 들어서지 못했다는 의견이 주를 이루고 있습니다.
IV. P대 NP 문제(P vs NP Problem)
한 줄 요약: 알고 보면 쉬운 문제가 답을 알기 전에도 쉬운 문제인지 증명하라.
이전의 것들과 다르게 무언가 만만해 보이는 느낌이 드는 문제처럼 느껴지지만, P대 NP 문제는 컴퓨터 과학계에 있어 최종 보스 격인 문제에 해당합니다. 1971년에 제시된 문제이며, 50년이 지난 지금까지 풀리지 않고 있는 상태죠.
그래도 이 문제는 문제 자체를 이해하는 정도는 시도해 볼 수 있는데요. 먼저, 문제에 쓰인 개념을 간단히 설명해 드리겠습니다. '네', '아니요'로 대답할 수 있는 문제들 중 '쉽게 풀리는 문제'를 P 문제라 하고, '쉽게 검산할 수 있는 문제'를 NP 문제라고 합니다.
즉, P대 NP 문제는 'P 문제의 집합과 NP 문제의 집합이 과연 같은지, 다른지를 증명해야 하는 문제'이며, 방금 설명한 P 문제와 NP 문제의 개념을 사용해 표현하면, '쉽게 검산할 수 있는 모든 문제들은 모두 쉽게 풀리는 문제인가?'라고 나타낼 수 있습니다.
여담으로 컴퓨터를 하며 한 번쯤 본 적이 있는 지뢰 찾기 게임도 NP 문제에 해당하는데요. 영국의 수학과 교수 리처드 케이는 지뢰 찾기 게임의 지뢰밭과 관련된 알고리즘을 발견할 수 있다면, P대 NP 문제의 단서를 찾을 수 있을 것이라 주장하기도 했답니다.
V. 버츠와 스위너톤-다이어 추측(Birch and Swinnerton-Dyer Conjecture)
한 줄 요약: 타원곡선을 유리수로 정의하는 방정식이 유한개의 유리수해를 가지는지 무한개를 가지는지를 알 수 있는 간단한 방법을 구하라.
1965년, 브라이언 버츠와 피터 스위너톤 다이어가 케임브리지 대학교의 에드삭 컴퓨터를 사용한 수치적 데이터를 바탕으로 이 추측을 발표하였습니다. 2014년 이 추측은 계수가 1 이하인 경우 중에서도, 특수한 경우에 대해서만 증명되어 있는데요. 최근에는 인공지능에게 타원곡선 방정식을 기계 학습시켜, 이와 관련된 새로운 패턴을 발견했다고 합니다.
이 문제를 밀레니엄 문제로 선정한 사람은 페르마의 마지막 정리를 증명한 앤드루 와일스 교수라고 합니다. 와일스 교수는 타원곡선을 전공했으며, 페르마의 마지막 정리 또한 타원곡선으로 증명해 냈습니다.
* 페르마의 마지막 정리: 이전까지 가장 널리 알려져 있던 수학의 미해결 문제. 1637년에 수학자 페르마가 제기한 이래로, 무려 358년간이나 미해결 문제로 남아 있다가, 1995년에 앤드루 와일스에 의해 증명.
정수론의 영역에 속하는 이 추측은 대부분의 밀레니엄 문제들과 마찬가지로 일반인은 문제의 이해에 접근조차 하기 힘들 정도라고 합니다. 또한 지난 60여 년 간 미해결 문제로서 많은 연구를 촉진시켰으며, 현재 수학에서 가장 중요한 문제 중 하나로 인정받고 있습니다.
VI. 나비에-스토크스 방정식(Navier-Stokes Equation)
한 줄 요약: 비행기 날개 위로 흐르는 공기 같은 기체 흐름과 배 옆으로 흐르는 물 같은 유체의 흐름을 기술하는 편미분 방정식의 해를 구하라.
1850년, 프랑스 물리학자 클로드루이 나비에와 아일랜드 수학자 조지 스토크스가 완성된 방정식이며, 현재 물리학의 수많은 곳에서 널리 사용되고 있습니다. 비행기가 공중에 뜰 수 있는 것도, 기상청에서 아직 오지도 않은 며칠 후의 날씨를 예측할 수 있는 것도 이 방정식과 관련이 있습니다.
쉽게 요약하자면, 만약 이 방정식만 완벽히 해결해 낸다면, 기상 예측 정확도가 엄청나게 높아진다는 것인데요. 현재 2차원의 경우에서는 완벽히 증명이 된 상태이나, 3차원의 경우엔 해결되지 못한 부분이 있으며, 그 부분을 해결하고 증명해 내야 합니다. 하지만 이 역시 해결이 가능한지 조차 확인이 안 된 상태라고 하죠.
워낙에 역사가 오래되어 유명한 방정식이기도 하고, 이름의 어감이 세련돼 보이는 느낌 탓인지, 여러 창작물에서도 종종 등장하곤 합니다. 히가시노 게이고의 소설 라플라스의 마녀와 크리스 에반스가 주연으로 출연한 영화 어메이징 메리에서 핵심 주제와 매우 중요한 요소로 등장합니다. 또한 웹툰 삼국지톡, 수학 잘하는 법, 놓지 마 정신줄에서도 등장인물의 명석함을 드러내가 위한 장치로 활용되는 모습을 볼 수 있습니다.
아직 검증이 되지 않은 상태임에도 불구하고, 나비에-스토크스 방정식은 실제로 항공기나 자동차 설계, 혈관 내의 혈류, 오염물질의 확산 등을 연구하는 데 사용되고 있다고 합니다.
VII. 푸앵카레 추측(Poincare Conjecture)
한 줄 요약: 어떤 하나의 밀폐된 3차원 공간에서 모든 밀폐된 곡선이 수축돼 하나의 점이 될 수 있다면 이 공간은 반드시 원구로 변형될 수 있다는 것을 증명하라.
1904년, 프랑스의 저명한 수학자 앙리 푸앵카레의 논문에 처음 등장하는 추측입니다. 앞서 언급하였듯, 밀레니엄 문제 중 현재까지 유일하게 증명된 문제입니다. 원래 푸앵카레 추측으로 불렸으나, 그리고리 페렐만이 증명에 성공하여 일반적인 정리로 수용되었습니다. 이후 '푸앵카레 정리', '페렐만 정리', '푸앵카레-페렐만 정리' 등으로 불리고 있습니다.
원래 앙리 푸앵카레는 3차원의 경우에 대해 추측했습니다. 차원이 높으면 증명이 어려울 것이라는 통념과 달리, 1961년에 5차원 이상의 경우가 스티븐 스메일에 의해 가장 먼저 풀렸습니다. 이후 1982년에 마이클 프리드먼이 4차원 푸앵카레 추측도 해결이 되고, 원래 문제만 증명이 되지 않고 남은 상황이었는데요. 결국 2005년에 그레고리 페렐만이 이를 증명하는 데 성공한 것입니다.
중
푸앵카레 추측을 설명하는 많은 교양 매체들을 통해, 이 추측이 우주의 대역적 모양을 알아내는 것과 연관이 있다는 설이 대중적으로 퍼져있었는데요. 하지만 이는 잘못 이해하고 있는 것에 불과하며, 푸앵카레 추측은 우주의 모양을 알아내는 일과 별로 관련이 없다고 합니다.
글을 마치며
많은 분야의 학자들이 평생을 매달리고 있는 밀레니엄 문제에 대해 간단하게나마 알아보았는데요. 하나같이 불가능의 영역이란 이 난제들에 대해 학자들조차 '만약 외계인을 만난다면, 이 문제들의 증명과 해결이 가능한지 묻고 싶다', '밀레니엄 문제의 해결은 세상에서 가장 어렵게 100만 달러는 버는 법이다'라는 등의 반응마저 보인다고 하죠.
하지만 문제의 해결은 아주 우연하면서, 한 순간에 이루어질 수도 있다는 의견도 있습니다. 위에서 잠시 언급했던 와일스 교수는 다음과 같은 말을 했다고 합니다.
"수학을 한다는 것을 비유하자면 어두운 저택에 들어가는 것과 같습니다. 첫 번째 방, 아주 깜깜한 방에 들어가면 아무것도 보이지 않아 비틀거리고 가구의 여기저기에 부딪히곤 하죠. 그러나 점차 가구들이 어디에 있는지 알아가게 됩니다. 그러다가 6개월 정도의 시간이 지나면 전기 스위치의 위치도 찾게 되죠. 그러고 나서 불을 켰을 때 환해지면서 모든 것이 형태를 드러내게 됩니다."
물론 와일스 교수 역시 페르마의 마지막 정리를 증명하기 위해 7년 동안 두문불출하며 증명에만 몰두했다고 합니다. 위의 독백에 기나긴 시간 동안 자신과 싸우며 경험한 좌절과 환희가 녹아 있는 셈입니다.
이제 포스팅을 마치고자 합니다. 조금이나마 유익한 시간이 되셨길 바라며, 소중한 시간 내어 방문해 주셔서 감사합니다.
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